Борис Галкин родился 19 сентября 1947 года в Ленинграде, в простой семье. Вскоре семья переехала в Ригу, и отец получил работу сапожника в Театре оперы и балета. С ранних лет Борис активно занимался спортом, от гимнастики до вольной борьбы. Кроме того, он проявлял интерес к поэзии. Юноша читал стихи на литературных вечерах и впоследствии решил попробовать свои силы в Москве.
Борис поступил в Театральное училище им. Б. Щукина, которое окончил в 1969 году. Во время учебы он дебютировал в кино в роли лейтенанта в военной картине Александра Столпера «Возмездие».
С 1971 по 1977 год Галкин работал актером и режиссером в некоторых театрах Москвы и Новгорода, в том числе играл в Московском театре драмы и комедии на Таганке. В 1977 году он окончил режиссерское отделение ГИТИСа. Все это время актер не переставал сниматься в кино.
На экраны вышли такие фильмы с его участием, как «Эхо далеких снегов», «Город первой любви», «Свеаборг», «Свой среди чужих, чужой среди своих», «Раба любви», «Ответный ход», «Отставник», «Мы из будущего» и др. Но по-настоящему серьезную роль Галкин получил в 1977 году в остросюжетном боевике «В зоне особого внимания» Андрея Малюкова. Картина была удостоена главного приза за режиссуру на Фестивале молодых кинематографистов студии «Мосфильм», а также получила Госпремию РСФСР имени братьев Васильевых. А Борис Галкин был награжден серебряной медалью имени Александра Довженко.
Также в фильмографию актера вошли ленты «Капитан Соври-голова», «Голубой карбункул», «Королева бандитов», «Маросейка, 12», «Громовержец», «Пуля», «Старые кадры» и многие другие.
В 1999 году Борис Сергеевич был удостоен звания Заслуженного артиста РФ. Он долгое время работал на телевидении и в 1996 году стал заместителем директора по производству на Киностудии им. М. Горького.
Галкин был женат четырежды. В третьем браке с киноведом Еленой Демидовой он прожил более 30 лет. Актер усыновил сына (Владислав Галкин) и дочь (Мария Галкина) супруги от первого брака. Вскоре после смерти Владислава семья распалась. В 2013 году актер женился на певице Инне Разумихиной. В 2017 году у них родилась дочь Анна. #борисгалкин#19сентября#деньрождения